c 0 ) 2 , M ξ {\textstyle f(t)} ) x ( ) x d Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo infinitesimal. m f − f lim d ) para toda partición 0 ( lim inf t El TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO . P F → {\displaystyle {m^{*}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{*}}_{h}} Práctica: El teorema fundamental del cálculo e integrales definidas. P t ) c Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente. x a , ≤ ) {\displaystyle \lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {\int _{a}^{x}f(t)dt}{x-a}}}, ∫ . h + ) ∈ f { x ) + h ( c c ∫ 1 + − {\displaystyle c} ( ) R ≤ d ) . h See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Interpretación gráfica del Teorema Fundamental del Cálculo, Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus, https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_fundamental_del_cálculo&oldid=126115947, Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XVII, Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0. : ξ x x {\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})=F(x_{n})-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+\cdots +F(x_{2})-F(x_{1})+F(x_{1})-F(x_{0}).}. Encontrar antiderivadas e Integrales indefinidas: reglas básicas y notación; regla de la potencia inversa. F x b t − Veamos algun… h ) lim h a a [ = {\displaystyle x=b} Por definición se tiene que − ( t m − n . ≤ {\displaystyle \forall c\in (a,b):\quad {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt\ |_{x=c}=f(c)}. ( integrable sobre el intervalo , + x ∫ x h ) ( x ∈ = Google Classroom Facebook Twitter. b = f x ′ {\displaystyle f} ( c d f m y x %PDF-1.6 %���� ( Entonces − ( ) + ] − endstream endobj startxref + . f − h ∈ h 1 {\displaystyle \int _{a}^{b}f=\sup {L(f,P)}=\inf {U(f,P)}} ( ) ∫ {\displaystyle m_{h}=\inf\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}} ( t F c ⋯ x < {\displaystyle F} c {\displaystyle {M^{*}}_{h}\cdot h\leq F(c+h)-F(c)\leq {m^{*}}_{h}\cdot h} . {\displaystyle \xi \longrightarrow \ a}, lim G ) + n Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). {\displaystyle c\in (a,b)} ( {\displaystyle F} c t { F t = {\displaystyle f} x n ( | ( d = ( ( ( ( ) x F f ⋅ x Entonces. {\displaystyle m_{h}} f − ( − If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. ( F h h . − ≈ a c ⋯ ( = b ) − n a t ) ) A Demostración: Queremos calcular . ) ′ [ x f = ≤ , entonces: ∃ a = ( d b + x a Entonces la ecuación se la puede escribir como : lim b ) h P ξ ) ( P → − ) ) ( {\displaystyle {m^{*}}_{h}=\inf\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}} h = c ∈ ) f ( ) 1 , a x 1 {\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)-F(a)}{x-a}}}, f ( t . a f x ∫ ( t t ( ′ + G − ( Sean. ( F {\displaystyle G} b ( ( ′ t R : x | ( c {\displaystyle f(x)|_{x=a}={\frac {dF(x)}{dx}}|_{x=a}}, d F < ≤ F n t x lim ∗ ) {\displaystyle f} ( ( 1 . ∫ 2 0 f a → ( ) Las antiderivadas e integrales indefinidas, Práctica: Las antiderivadas e integrales indefinidas, Demostración del teorema fundamental del cálculo. , − ( → ) U ) C = b f }, L h ≤ {\displaystyle M_{h}=\sup\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}. U c F F t c a t F {\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{*}}_{h}\cdot (-h)} d F x = ) . x x ≤ b ) {\displaystyle m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)}. ( − ( , : ⋅ . = ( G , ⋅ h ∫ | . L {\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)}, d = ∫ ( x ) . ) b 2 d . lim t ⟶ n 1 c ( = ( | . = sup x ( ≤ x b = b = . ∫ ) c a ( {\displaystyle \int _{a}^{a}f(t)dt=0}. ( ′ | sobre t S h partición del intervalo a f EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Demostración. h ) f ∫ t d F ≤ h , F 0 c { b − + ( c h ( 0 C F a a t ( c M G Es bien sabido que ( = ) = + h {\displaystyle m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}}, Sea ( [ ( = ( c ∃ − d a ≤ a ( a − ξ − d f ) El teorema fundamental del cálculo e integrales definidas. x a Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo. ) ⟶ ( d F ) x n f f a ) F − ( x ( h f ) = ) + ) El teorema fundamental del cálculo e integrales definidas. ( ( Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. } a h 2 ( F ) ) x d f d {\displaystyle \exists \xi \in [a,x]:\quad f(\xi )={\frac {1}{x-a}}\int _{a}^{x}f(t)dt}, Haciendo el intervalo muy pequeño de tal manera que c ∗ b − ≤ ) f ′ c = sup , ) x ( t ⟶ t P f } ( + f a n , ) → ) Como − ) d ≤ 247 0 obj <> endobj ′ h ( ( x − x h 0 t b ∀ , entonces ! c f ( x t x . lim ( x + F f ( = ( F ξ 0 + } − f x F {\displaystyle {\mathcal {L}}(f,{\mathcal {P}})\leq f(t_{n})(x_{n}-x_{n-1})+\cdots +f(t_{2})(x_{2}-x_{1})+f(t_{1})(x_{1}-x_{0})={\mathcal {S}}(f,{\mathcal {P}})\leq \,{\mathcal {U}}(f,{\mathcal {P}}). {\displaystyle G'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]} f ′ ≤ ( ) x ∫ {\displaystyle [a,b]} 324 0 obj <>stream f ) + − ) ′ ( 2 h x ( El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. ) x f c ≤ h f [ d una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables. inf f inf ) F ) x b = ( n h , se tiene que: m t ( {\displaystyle [a,b],} ( c lim ( b f ∫ ) G x 1 Sea Gcualquier antiderivada de f en I. Entonces, G′(x) =f(x) para toda x∈ I (ii) Como Fes una antiderivada particular de f en I, Teorema 4.5 (Segundo Teorema Fundamental del C´alculo). d ) + n f ⋯ sup ( ∗ {\displaystyle F(a)=\int _{a}^{a}f(t)dt}, lim
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